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ライフコラム
子どもの学び

2014/6/24

子どもの学び

三角形ABCと合同な三角形をもう一つ重ね合わせ、面積が8平方センチメートルの正方形をつくればいいのだ。

正方形の面積の公式には2通りある。一つは「縦×横」。もう一つは「対角線×対角線÷2」、ひし形の面積の公式をあてはめるのである。辺BCは正方形の対角線に当たる。面積が8平方センチメートルであることがわかっているので、公式に当てはめ、逆算することで辺BCの長さがわかる。

対角線×対角線÷2=8

対角線×対角線=16

4×4=16であるから、対角線は4cm

「なるほど!」と思う解法だと思うのだが、「これは中学受験生にとっては定番の問題です。95%が正解でした」と岡田副校長。前述の通り、基礎的な事柄から発展的な事項へと掘り下げていくのが西大和の入試問題である。まだまだ序の口なのだ。

(2) 図2の直角二等辺三角形ABCの面積のうち、網目部分の面積は、網目部分以外の面積の何倍になるか求めなさい。

三角形の相似の問題である。説明のために、点Dから伸ばした直線と辺BCとの交点を点Pとする。三角形ABCと三角形DPCは、辺の長さの比が2:1の相似を成す三角形である。ということは、面積比は4:1。網目の部分は三角形ABCの面積から、三角形DPCの面積を引いたものだから、4-1=3。つまり、網目部分の面積と網目部分以外の面積の比は、3:1。よって、3倍が答えになる。

これもまだ基本問題のレベルといえる。

(3) 図3の直角二等辺三角形ABCのうち、次の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

 (網目部分の全体の面積):(網目部分以外の全体の面積)

さらに細かく三角形を分割するというわけだ。(2)の考えを応用できる。

図3には相似を成す4つの三角形がある。点E、点D、点Fから伸ばした直線と辺BCとの交点をそれぞれ点S、点P、点Qとする。

三角形FQCの辺の長さを1とすると、三角形DPCの辺の長さは2、三角形ESCの辺の長さは3、三角形ABCの辺の長さは4。ということは、4つの三角形の面積比は、1:4:9:16ということになる。

4分割された領域をそれぞれa、b、c、dとし、aの面積を1とすると、それぞれの面積は、b=4-1=3、c=9-4=5、d=16-9=7。よって、a:b:c:d=1:3:5:7。網部分全体の面積は7+3=10。網部分以外の全体の面積は5+1=6。よって、(網目部分の全体の面積):(網目部分以外の全体の面積)=10:6=5:3が正解となる。

ここでは説明するために点S、点P、点Qをおいたが、実際に受験生が解く際にはそのようなことは不要である。図3の中に相似を成す4つの三角形を見出し、それらの辺の比から面積比を割り出せれば正解にたどり着ける。

(2)から(3)へは、一段複雑になっているが、(2)も(3)も95%の正答率だったという。

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