算数オリンピックに挑戦 第30回

【問題】
面積が12平方センチメートルの三角形ABCにおいて、角ADB=150°、角BDC=90°、AD=CDで、三角形DBCと三角形ADCの面積が等しいとき、三角形ABDの面積を求めなさい。
■2012年ジュニアトライアル
協力:算数オリンピック委員会
【答え】
2.4平方センチメートル

【解説】

辺CDの延長上にCD=DEとなるように点Eを取ります。角ADCは360-150-90=120°なので、角ADE=60°。さらにAD=DEなので、三角形ADEは正三角形だとわかります。

次に辺DEのまん中に点Fを取ります。角AFEと角BDFは直角になります。辺AFと辺DBは平行になるので、三角形FBDと三角形ABDは高さが同じになり面積が等しいとわかります。

辺FDは辺CDの半分の長さなので、三角形BCDの面積は三角形ABDの2倍とわかります。同じように考えると、三角形ADCの面積は三角形ABDの2倍になります。

三角形ABCの面積が12平方センチメートルなので、三角形ABDの面積は

12÷(1+2+2)=2.4平方センチメートルになります。

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