算数オリンピックに挑戦 第6回

【問題】
辺ABの長さが11cm、ACの長さが9cmの三角形ABCがあります。
辺BC上に角AHBが90°となるような点Hをとります。次に、角BADが60°となるような点Dをとります。角DACの大きさが角HADの大きさの2倍になりました。
このとき、辺BHの長さは辺CHの長さの何倍ですか。
■2002年算数オリンピックファイナル
協力:算数オリンピック委員会
【答え】
11/7(7分の11倍)

【解説】

角BAHを■、角HADを○とあらわすと、

■+○=60°……式(1)

次に三角形ABHを辺ABを軸として折り返して三角形ABH’を作ります。

さらに三角形ABH’を辺AH’を軸としてもう一度折り返し三角形AB’H’を作ります。

このとき角B’ACは180°、つまり一直線になります。なぜなら、この角には■と○が3つずつ集まっており、式(1)から

60×3=180°となるからです。

辺AB’の長さは辺ABと同じ11cmなので、高さが同じ三角形BAB’の面積と三角形ABCの面積の比は底辺の長さから

11:9になります。

三角形ABHの面積を11とすると、三角形ABB’の面積は2つ分の22になります。この数字を使うと三角形ABCの面積は

22÷11×9=18となります。

三角形AHCの面積は

18-11=7となります。

三角形ABHとAHCの面積の比は11:7です。この2つの三角形は高さが同じなので、底辺のBHとHCの長さの比も同じになります。つまり

BH:HC=11:7

このことからBHの長さはHCの11/7(7分の11)倍となります。

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