【問題】
辺ABの長さが11cm、ACの長さが9cmの三角形ABCがあります。
辺BC上に角AHBが90°となるような点Hをとります。次に、角BADが60°となるような点Dをとります。角DACの大きさが角HADの大きさの2倍になりました。
このとき、辺BHの長さは辺CHの長さの何倍ですか。
■2002年算数オリンピックファイナル
協力：算数オリンピック委員会
辺ABの長さが11cm、ACの長さが9cmの三角形ABCがあります。
辺BC上に角AHBが90°となるような点Hをとります。次に、角BADが60°となるような点Dをとります。角DACの大きさが角HADの大きさの2倍になりました。
このとき、辺BHの長さは辺CHの長さの何倍ですか。
■2002年算数オリンピックファイナル
協力：算数オリンピック委員会
【答え】
11/7（7分の11倍）
11/7（7分の11倍）
【解説】
角BAHを■、角HADを○とあらわすと、
■＋○＝60°……式(1)
次に三角形ABHを辺ABを軸として折り返して三角形ABH’を作ります。
さらに三角形ABH’を辺AH’を軸としてもう一度折り返し三角形AB’H’を作ります。
このとき角B’ACは180°、つまり一直線になります。なぜなら、この角には■と○が3つずつ集まっており、式(1)から
60×3＝180°となるからです。
辺AB’の長さは辺ABと同じ11cmなので、高さが同じ三角形BAB’の面積と三角形ABCの面積の比は底辺の長さから
11：9になります。
三角形ABHの面積を11とすると、三角形ABB’の面積は2つ分の22になります。この数字を使うと三角形ABCの面積は
22÷11×9＝18となります。
三角形AHCの面積は
18－11＝7となります。
三角形ABHとAHCの面積の比は11：7です。この2つの三角形は高さが同じなので、底辺のBHとHCの長さの比も同じになります。つまり
BH：HC＝11：7
このことからBHの長さはHCの11/7（7分の11）倍となります。
