2014/12/9

おとなの数学

まず、4を13で割る下図を見ていただきたい。


最初の割り算は40を13で割って余り1になる。次の割り算は10を13で割って余り10になる。次の割り算は100を13で割って余り9になる。次の割り算は90を13で割って余り12になる。次の割り算は120を13で割って余り3になる。次の割り算は30を13で割って余り4になる。次の割り算は40を13で割って余り1になる。

そのように観察することによって気付くだろうが、次々と割り算を行っていく過程で現れる余りは、この場合どれも13より小さいのである。もちろん、割り切れない分数を考えていることから、どの余りも1以上である。したがって、余りは必ず

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

のどれかになる。図では、最初の割り算と最後に示した割り算の余りはどちらも1になったが、次々と13で割っていけば、必ずいつかは同じ余りが現れなくてはならない。それは、余りとして考えられるのは1以上12以下の12個の整数しかないからである。

同じ余りが現れることになれば、同じ余りから下の部分は全く同じ形になる。図では、最後に示した割り算以降は(*)の部分を繰り返すことになる。

マンホールはなぜ丸い形をしているのか

地図の縮尺もあまり理解していない大人が少なくない。「縮尺1万分の1の地図上で1辺が1cmの正方形の土地の実際の面積は何㎡(平方メートル)ですか」という問題だ。

正解は「10000㎡」であるが、「100㎡」と答える大人も意外と多い。もっともこの問題は、「円周率の定義」や「小数÷小数で余りも求める問題」と比べると、間違いはやや少ない。

答えを述べよう。実際の土地は1辺が10000cmの正方形、すなわち1辺が100mの正方形である。したがって、その面積は10000㎡となるのである。一般化すると、縮尺は地図上と実際上の距離の比である。面積の比を考えるには、それらの2乗の比にしなくてはならない。間違えた人の多くは、1辺が1cmの正方形の面積をまず出し、それを1万倍してしまったのである。

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